Question

【题目】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．

（1）求证：DE=DF；

（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AFDE是正方形．理由见解析.

【解析】

试题

（1）由已知条件可由“HL”证Rt△DBF≌Rt△DCE，从而可得：DE=DF；

（2）由∠A=∠DFA=∠DEA=90°可证得四边形AFDE是矩形，结合DF=DE，可得四边形AFDE是正方形.

试题解析：

（1）∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠BFD=∠CED=90°，

在Rt△BDF和Rt△CDE中， ，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），

∴DE=DF；

（2）当∠A=90°时，四边形AFDE是正方形．理由如下：

∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠DEA=∠DFA=90°，

又∵∠A=90°，

∴四边形AFDE是矩形，

又∵DF=DE，

∴四边形AFDE是正方形．