Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．

（1）求证：PQ∥AB
（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长。
（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围。

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，

∴AC==12．

∵==，==，

∴=．

∵∠C=∠C，

∴△PQC∽△BAC，

∴∠CPQ=∠B，

∴PQ∥AB

（2）

解：连接AD，

∵PQ∥AB，

∴∠ADQ=∠DAB．

∵点D在∠BAC的平分线上，

∴∠DAQ=∠DAB，

∴∠ADQ=∠DAQ，

∴AQ=DQ．

在Rt△CPQ中，PQ=5x，

∵PD=PC=3x，

∴DQ=2x．

∵AQ=12﹣4x，

∴12﹣4x=2x，解得x=2，

∴CP=3x=6．

（3）

解：当点E在AB上时，

∵PQ∥AB，

∴∠DPE=∠PEB．

∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，

∴∠B=∠PEB，

∴PB=PE=5x，

∴3x+5x=9，解得x=．

①当0＜x≤时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0＜T≤；

②当＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足为H，

∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，

∴==．

∵PG=PB=9﹣3x，

∴==，

∴GH=（9﹣3x），PH=（9﹣3x），

∴FG=DH=3x﹣（9﹣3x），

∴T=PG+PD+DF+FG=（9﹣3x）+3x+（9﹣3x）+[3x﹣（9﹣3x）]

=x+，

此时，＜T＜18．

∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，

∴T=12时，即12x=12，解得x=1；

TA=16时，即x+=16，解得x=．

∵12≤T≤16，

∴x的取值范围是1≤x≤．

【解析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定定理得出△PQC∽△BAC，由相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出结论；
（2）连接AD，根据PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由点D在∠BAC的平分线上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根据勾股定理可知，AQ=12﹣4x，故可得出x的值，进而得出结论；
（3）当点E在AB上时，根据等腰三角形的性质求出x的值，再分0＜x≤；＜x＜3两种情况进行分类讨论．
此题考查了几何图形的折叠问题，涉及的几何知识有勾股定理，相似三角形的判定定理和等腰三角形的性质等。