Question

3．（1）发现
如图1，直线l₁∥l₂，l₁和l₂的距离为d，点P在l₁上，点Q在l₂上，连接PQ，填空：PQ长度的最小值为d．
（2）应用
如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC=2，AD=4，AB=6，点M在线段AD上，AM=3MD，点N在直线BC上，连接MN，求MN长度的最小值
（3）拓展
如图3，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC=2，AD=4，AB=6，点M在线段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC=CE，以MB和ME为边作平行四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值

Answer 1

分析 （1）根据垂线段最短得：PQ长度的最小值为：l₁和l₂的距离；
（2）如图2，当MN⊥BC时，MN的值最小，证明△EMN是等腰直角三角形，先根据AM=3MD，求DM的长，证明△EDC∽△EAB，得ED=2，则EM=3，所以可得MN的长；
（3）作辅助线，构建相似三角形，先根据平行线分线段成比例定理得：$\frac{CG}{BG}=\frac{1}{2}$，G是BC上一定点，得出
当MN⊥AD时，MN的长最小，计算AH的长就是MN的最小值．

解答 解：（1）∵直线l₁∥l₂，l₁和l₂的距离为d，
∴PQ长度的最小值为d；
故答案为：d；
（2）如图2，∵AD=4，AM=3DM，
∴AM=3，DM=1，
延长AD、BC交于E，
当MN⊥BC时，MN的值最小，
∵DC∥AB，
∴△EDC∽△EAB，
∴$\frac{ED}{EA}=\frac{DC}{AB}$，
∴$\frac{ED}{ED+4}=\frac{2}{6}$，
∴ED=2，
∴ED=DC=2，
∴△EDC是等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∴△EMN是等腰直角三角形，
∵EM=3，
∴MN=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$；
（3）当MN⊥AD时，MN的长最小，
∴MN∥DC∥AB，
∴∠DCM=∠CMN=∠MNB=∠NBH，
设MN与BC相交于点G，
∵ME∥BN，MC=CE，
∴$\frac{CG}{BG}=\frac{1}{2}$，
∴G是BC上一定点，
作NH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵∠D=∠H=90°，
∴Rt△MDC∽Rt△NHB，
即$\frac{DC}{HB}$=$\frac{1}{2}$，
∴BH=2DC=4，
∴AH=AB+BH=6+4=10，
∴当MN⊥AD时，MN的长最小，即为10；
则线段MN长度的最小值为10．

点评 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、矩形、平行四边形的性质、垂线段最短，注意准确作出辅助线是解此题的关键，本题还运用了类比的思想解决问题．