Question

关于x，y的方程x²+y²=208（x-y）的所有正整数解为________．

Answer 1

分析：先将方程配方，可知x、y是在以（104，-104）为圆心，104为半径的圆上的点，然后用参数方程表示，分情况讨论．
解答：方法1：x²+y²=208（x-y）
x²-208x+104²+y²+208y+104²=2×104²
（x-104）²+（y+104）²=2×104²
这是一个以（104，-104）为圆心，104为半径的圆，可用参数方程表示为：
=sinθ，=cosθ
x=104sinθ+104=104（sinθ+1），y=104cosθ-104=104（cosθ-1）
x、y都是正整数，那么104（sinθ+1）和104（cosθ-1）同时为正整数
sinθ＞-，cosθ＞，且sinθ和cosθ值的分母是104的约数，分子是的整数倍
（1）分母为2：（A）²+（B）²=1
A²+B²=2
A=±1，B=±1，（舍去）
（2）分母为4：（A）²+（B）²=1
A²+B²=8
A=±2，B=±2，（舍去）
（3）分母为8：（A）²+（B）²=1
A²+B²=32
A=±4，B=±4，（舍去）
（4）分母为13：（A）²+（B）²=1
A²+B²=，（舍去）
（5）分母为26：（A）²+（B）²=1
A²+B²=338
A=±7，B=±17，或者A=±17，B=±7，（舍去）
所以x=160，y=32或者x=48，y=32符合
（6）分母为52：（A）²+（B）²=1
A²+B²=1352
A=±14，B=±34，或者A=±26，B=±26，（舍去）
或者A=±34，B=±14，（舍去）
所以x=160，y=32或者x=48，y=32符合．
方法2：x²+y²=208（x-y）
x²-208x+104²+y²+208y+104²=2×104²
（x-104）²+（y+104）²=2×104²
∵2×104²是偶数，（x-104），（y+104）有相同的奇偶性
∴x，y具有相同的奇偶性
∵x²+y²=208（x-y）
∴x，y均为偶数
令x=2a，y=2b，则（a-52）²+（b+52）²=2×52²，a²+b²=104（a-b）
同理，令a=2c，b=2d，则（c-26）²+（d+26）²=2×26²，c²+d²=52（c-d）
令c=2s，d=2t，则（s-13）²+（t+13）²=2×13²，（s，t为正整数）
可得正整数解只有（s-13）²=7²，（t+13）²=17²
即s=20或6，t=4
故x=8s=160或48，y=8t=32
点评：本题难度很大，属于竞赛题型，超出初中教材大纲要求．