Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于2，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用两组对角相等的四边形是平行四边形进行证明；

（2）设CD的长为a，则CE＝a，，DE＝a，S△CED＝a2，由面积关系可得a2+a2＝2，可求a的值，即可求CE的长．

（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠DAB+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠DAB＝∠BCD，且∠ABC＝∠ADC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵△ABE是等边三角形，

∴AB＝AE＝CD，∠BAC＝60°，

∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD＝60°，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90，

在Rt△CDE中，设CD的长为a，

则CE＝a，DE＝a，S△CED＝a2．

因为△CED与△CEB是同底等高的三角形，

∴S△CED＝S△CEB，

又∵S四边形BCDE＝S△CED+S△CEB＝2，

∴a2+a2＝2，

∴a＝2，

∴CE＝a＝.