分析 (1)把C(0,-3)代入抛物线解析式可得k值,令y=0,可得A,B两点的横坐标;
(2)过M点作x轴的垂线,把四边形ABMC分割成两个直角三角形和一个直角梯形,求它们的面积和;
(3)设D(m,m2-2m-3),连接OD,把△BCD的面积转化成求△BOC,△DOC,△DOB的面积的和差,求表达式的最大值.
解答 解:(1)在y=x2-2x-3中,
令y=0,
即x2-2x-3=0,
解得 x1=-1,x2=3.
令x=0,得y=-3,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),
故答案是:(-1,0);(3,0);(0,-3);
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的顶点为M(1,-4).
如图1,连接OM、AC、CM、MB.
则S△AOC=$\frac{3}{2}$,S△MOC=$\frac{3}{2}$,
S△MOB=6,
∴S四边形ABMC=S△AOC+S△MOC+S△MOB=9;
(3)如图2,设D(m,m2-2m-3),连接OD.
则0<m<3,m2-2m-3<0
∵△DOC的面积=$\frac{3}{2}$m,
△DOB的面积=-$\frac{3}{2}$(m2-2m-3),
∴S△BDC=S△DOC+S△DOB-S△BOC
=$\frac{3}{2}$m-$\frac{3}{2}$(m2-2m-3)-$\frac{1}{2}×$3×3=-$\frac{3}{2}$m2+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{3}{2}$(m-$\frac{3}{2}$)2+$\frac{27}{8}$,
∴存在点D( $\frac{3}{2}$,-$\frac{15}{4}$),使△BCD的面积最大为 $\frac{27}{8}$.
点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及不规则图形面积的求法等二次函数综合题型.解答(2)题时,也可过点M作抛物线的对称轴,将四边形ABMC的面积转化为求一个梯形与两个直角三角形面积的和.
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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