Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，点D在AC上，CD=3cm．P，Q两点分别从A，C两点同时出发，点P沿AC向点C匀速运动，速度为每秒kcm，行完AC全程需8s；点Q沿CB向点B匀速运动，速度为每秒1cm．设运动的时间为xs（0＜x＜8），△DCQ的面积为y₁cm²，△PCQ的面积为y₂cm²．
（1）求y₁与x的函数关系，并在图2中画出y₁的图象；
（2）图2所示的抛物线是y₂的图象，顶点坐标为（4，10），求图1中AB的长；
（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6），过G作EF垂直于x轴，分别交y₁，y₂于点E，F．
①说出线段EF的长在图1中所表示的几何意义；
②P，Q两点在运动过程中，△PDQ的面积是否存在最大值？若存在，请求出点Q运动的时间和△PDQ的最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了CD=3cm，根据Q点的速度可以用时间x表示出CQ的长，可根据三角形的面积计算公式得出y₁，x的函数关系式；
（2）可先求出y₂的函数式，然后根据其顶点坐标来确定k的取值．已知了P点走完AC用时8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根据三角形的面积公式列出关于y₂，x的函数关系式，进而可根据顶点坐标求出k的值；
（3）EF其实就是y₂-y₁，也就是△PCQ和△CDQ的面积差即△PDQ的面积．得出EF的函数关系式后，根据自变量的取值以及函数的性质即可求出△PDQ的最大值．
解答：解：（1）∵S_△DCQ=•CQ•CD，CD=3cm，CQ=xcm，
∴y₁=x．图象如图所示；

（2）S_△PCQ=•CQ•CP，CP=（8k-xk）cm，CQ=xcm，
∴y₂=×（8k-kx）•x=-kx²+4kx．
∵抛物线顶点坐标是（4，10），
∴-k•4²+4k•4=10．
解得k=．
则点P的速度每秒cm，
∴AC=×8=10cm，BC=8cm，
∴AB==2（cm）；

（3）①观察图象，知线段的长EF=y₂-y₁，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．
②存在．
理由：由（2）得y₂=-x²+5x．
∴S_△PDQ=EF=-x²+5x-x=-x²+x，
∵二次项系数小于0，
∴在0＜x＜6范围，
当x=-=时，S_△PDQ最大，S_△PDQ=．
点评：本题是一道涉及二次函数、一次函数、三角形的有关知识且包含动点问题的综合题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．