Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求直线AC的解析式；

（2）如图2，点E（a，b）是对称轴右侧抛物线上一点，过点E垂直于y轴的直线与AC交于点D（m，n）．点P是x轴上的一点，点Q是该抛物线对称轴上的一点，当a+m最大时，求点E的坐标，并直接写出EQ+PQ+PB的最小值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连结OD，将△AOD沿x轴翻折得到△AOM，再将△AOM沿射线CB的方向以每秒3个单位的速度沿平移，记平移后的△AOM为△A′O'M'，同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x轴正方向平移，点B的对应点为B'．△A'B'M'能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点M'的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）E（3，），点F（﹣1，），；（3）符合条件的点M'的坐标M′（0，）．

【解析】

(1）y＝，令y＝0，x＝0，求出A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣2 ），把A、C坐标代入y＝kx+b，即可求解；

（2）①由n＝b，解得：m＝﹣ m2+ a，则a+m＝a+（﹣m2+a）＝﹣（a﹣3）2+ ，即可求解；②F是E关于对称轴的对称点，则在如图位置时，EQ+PQ＝PF最小，即EQ+PQ+ PB是最小值，即可求解；

（3）设移动的时间t秒，各点坐标为：A′（﹣2+2t）、B′（4+t）、M′（﹣ +2t，t），分AB′2＝AM′2、AB′2＝BM′2、BM′2＝AM′2讨论求解．

（1）y＝，

令y＝0，解得x＝﹣2或4，令x＝0，则y＝﹣2，

∴点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣2）；

把A、C坐标代入y＝kx+b，

解得：k＝﹣，b＝﹣2，

∴直线AC的解析式y＝﹣x﹣2；

（2）∵E（a，b）在抛物线上，∴b＝，

∵D（m，n）在直线AC上，∴n＝﹣m﹣2，

∵DE⊥y轴，∴n＝b，解得：m＝﹣a2+a，

∴a+m＝a+（﹣a2+a）＝﹣（a﹣3）2+，

∴当a＝3时，a+m由最大值，b＝ ，

则：E（3，），点F（﹣1，），

如下图2所示，连接BC，过点F作FP∥BC，交对称轴和x轴于点Q、P，

∵F是E关于对称轴的对称点，则在如图位置时，EQ+PQ＝PF最小，即EQ+PQ+ PB是最小值，

kBC＝ ＝kFP，把kFP和点F坐标代入y＝kx+b，

解得：b＝﹣ ，即：y＝x﹣，

令y＝0，则x＝ ，即点P（，0），

则PF＝ ，而PB＝（4﹣）＝ ，

EQ+PQ+PB＝PF+PB＝ ；

故：点E坐标为（3，），EQ+PQ+PB的最小值为；

（3）设移动的时间t秒，△A′O′M′移动到如图所示的位置，

则此时各点坐标为：A′（﹣2+2t）、B′（4+t）、M′（﹣ +2t，+ t），

则AB′2＝6t2﹣12t+36，AM′2＝ ，BM′2＝6t2+3t+ ，

当AB′2＝AM′2时，6t2﹣12t+36＝，方程无解，

当AB′2＝BM′2时，6t2﹣12t+36＝6t2+3t+，t＝ ，M′（0， ），

当BM′2＝AM′2时，6t2+3t+＝，方程无解，

故：符合条件的点M'的坐标M′（0，）．