练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图i，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧
    		BC
    上的一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA．
    （1）求证：AP是半圆O的切线；
    （2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD2=BE•BC成立？说明理由；
    （3）如图ii，在满足（2）问的前提下，若OD⊥BC精英家教网与H，BE=2，EC=4，连接PD，请探究四边形ABDO是什么特殊的四边形，并求tan∠DPC的值．
    分析：（1）证∠PAC=90°即可；
    （2）使BD2=BE•BC成立，即要证△BDE∽△BDC，应有∠D=∠BCD，则应该添加弧BD=弧AB；
    （3）证得AB与OD平行且相等，就有四边形ABDO是平行四边形，又AO=OD，有四边形ABDO是菱形，利用锐角三角函数的概念和直角三角形的性质求得PB和PH值即可．
    解答：（1）证明：∵∠D与∠C对同一弧，
    ∴∠D=∠C．
    ∵AC为直径，
    ∴∠ABC=90°．
    ∴∠C+∠BAC=90°．
    ∵∠BAP=∠BDA，
    ∴∠PAB+∠BAC=90°．
    即∠PAC=90°．
    故AP是圆的切线．

    （2）解：添加弧BD=弧AB．
    ∵弧AB=弧BD，
    ∴∠D=∠BCD．
    ∵∠DBE=∠DBC，
    ∴△BDE∽△BDC．
    ∴BD：BC=BE：BD．
    即BD2=BE•BC．

    （3）解：∵AC是半圆的直径，OD⊥BC，
    ∴∠ABC=∠OHC=90°，OD∥AB．
    ∵OD⊥BC，
    ∴点D是弧BC的中点．
    ∴AD是∠BAC的平分线．
    ∴AB：BE=AC：CE．
    ∴AB：AB=BE：CE=2：4=1：2．
    ∴AC=2AB．
    ∵AC=2AO=2OD，
    ∴AB=OD．
    即AB与OD平行且相等，
    ∴四边形ABDO是平行四边形．
    ∵AO=OD，
    ∴四边形ABDO是菱形．
    ∵sinC=AB：AC=1：2，
    ∴∠C=30°，OD=AB，AB=2
    		3
    ，AC=4
    		3
    ，AP=ACtan30°=4．
    ∵点O，H分别是AC，BC的中点，
    ∴OH=
    1
    2
    AB=
    		3
    ，DH=OD-OH=
    		3
    ．
    ∵PA是切线，PBC是割线，
    ∴PA2=PB•PC=PB（PB+BC）．
    ∴PB=2．
    ∴PH=PB+BH=5．
    ∴tan∠DPC=DH：PH=
    		3
    5
    ．
    点评：本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，角的平分线定理，平行四边形和菱形的判定等知识点的综合运用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为
    BC
    上的一动点．
    （1）问添加一个什么条件后，能使得
    BD
    BC
    =
    BE
    BD
    ？请说明理由；
    （2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；
    （3）如图2，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：第26章《圆》常考题集（20）：26.4 圆周角（解析版） 题型：解答题

    如图1，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为上的一动点．
    （1）问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由；
    （2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；
    （3）如图2，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：第4章《相似三角形》常考题集（10）：4.3 两个三角形相似的判定（解析版） 题型：解答题

    如图1，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为上的一动点．
    （1）问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由；
    （2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；
    （3）如图2，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2010年四川省成都市大邑县外国语学校中考数学模拟试卷（解析版） 题型：解答题

    如图i，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上的一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA．
    （1）求证：AP是半圆O的切线；
    （2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD2=BE•BC成立？说明理由；
    （3）如图ii，在满足（2）问的前提下，若OD⊥BC与H，BE=2，EC=4，连接PD，请探究四边形ABDO是什么特殊的四边形，并求tan∠DPC的值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案