Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在反比例函数y=（x > 0)的图象上，作AB⊥y轴于B点.

(1) △ABO的面积为 .

(2) 若点A的横坐标为4，点P在x轴的正半轴.且△OAP是等腰三角形，求点P的坐标: .

(3)动点M从原点出发，沿x轴的正方向运动，以MA为直角边，在MA的右侧作等腰Rt△MAN=90°,若在点M运动过程中，斜边MN始终在x轴上，求ON-OM的值

Answer 1

【答案】（1）6；（2）（5,0）或（8,0）或（,0）；（3）48.

【解析】

（1）根据反比例函数系数k的几何意义，即可求出△ABO的面积；

（2）先求出点A的坐标，设点P的坐标为（a，0）由题意可知：a＞0，根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，即可求出OA=，OP=a，AP=，然后根据等腰三角形的腰的情况分类讨论即可；

（3）过点A作AB⊥x轴于B，设点A的坐标为（x，y），则OB·AB=x·y=12，根据等腰直角三角形的性质，可得：AB=MB=BN，然后根据平方差公式，即可求出ON-OM的值.

解：（1）∵点A在反比例函数y=（x > 0)的图象上，AB⊥y轴

∴S△ABO=

故答案为：6；

（2）将x=4代入y=中，得：y=3

∴点A的坐标为（4,3）

设点P的坐标为（a，0）由题意可知：a＞0

∴OA=，OP=a，AP=

①当OA=OP时，如下图所示

∴a=5

此时点P的坐标为（5,0）；

②当OA=AP时，如下图所示

∴

解得：（不符合a的取值范围，舍去），

此时点P的坐标为（8,0）；

③当OP=AP时，如下图所示

∴

解得：

此时点P的坐标为（,0）.

综上所述：点P的坐标为（5,0）或（8,0）或（,0）；

（3）如图所示，过点A作AB⊥x轴于B

A的坐标为（x，y）

∴OB·AB=x·y=12

∵△AMN为等腰直角三角形，AB⊥x轴

∴AB=MB=BN

∴ON-OM

=（ON-OM）（ON+OM）

=MN（OB+BN+OB-BM）

=（MB+BN）（OB+BN+OB-BM）

=（AB + AB）（OB+ AB +OB- AB）

=2AB·2OB

=4AB·OB

=48