Question

(2006陕西课改，25)(12分)王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子(如图①)．王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域(如图②)．由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．

(1)求：FC的长：

(2)利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x(cm)为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

(3)若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)由题意，得ΔDEF∽ΔCGF， ∴，∴，∴FC=40(cm)(3分) (2)如图，设矩形顶点B所对顶点为P，则①当顶点P在AE上时，x=60，y的最大值为60×30=1800()．(4分) ②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M． 根据题意，得ΔGFC∽ΔGPN． ∴，∴，∴． ∴． ∴当x=40时，y的最大值为2 400()．(7分) ③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40=2 400()(8分) 综合①②③，得x=40cm时， 矩形的面积最大，最大面积为2 400(9分) (3)根据题意，正方形的面积y()与边形x(cm)满足的函数表达式为： ． 当时，正方形的面积最大，∴． 解之，得(舍)，(cm)． ∴面积最大的正方形的边长为48cm．(12分)