Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①DE平分∠ADB；②BE=2-；③四边形AEGF是菱形；④BC+FG=1.5.其中结论正确的序号是_______.

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根据旋转的性质可知，△DGH≌△DCB，进而得知DH=DB，∠H=∠CBD=45°，∠DGH=∠DCB=90°，DG=DC=AD，之后可证△ADF≌△GDF，四边形AEGF是菱形，再根据勾股定理可知AE的长度，进而可以一一判断选出答案.

解：根据旋转的性质可知，△DGH≌△DCB，

∴DH=DB，∠H=∠CBD=45°，∠DGH=∠DCB=90°，DG=DC=AD，

在Rt△AED与Rt△GED中，AD=DG，ED=ED

∴Rt△AED≌Rt△GED（HL）

∴∠ADE=∠GDE，即DE平分∠ADB，故①正确；

在△ADF和△GDF中，AD=DG，∠ADF=∠GDF，DF=DF，

∴△ADF≌△GDF（SAS）

∴AF=GF，∠DAF=∠DGF=45°

又∵∠ABD=45°

∴FG∥AE

∵∠DAC=45°，

∴∠DAC=∠H，

∴AF∥EG

∴四边形AEGF是平行四边形，

又∵AF=GF

∴平行四边形AEGF是菱形，故③正确；

∵∠H=45°，∠HAE=90°

∴AE=AH

∵AE=AF=HD-AD=BD-AD

∵正方形ABCD的边长为1，根据勾股定理可知

即HD=

∴AE=

∴BE=，故②正确；

∵四边形AEGF是菱形

∴FG=AE=

∴BC+FG=，故④错误；

综上答案为①②③.