Question

【题目】如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．

求证 ：（1）四边形ABDF是菱形；

（2）AC=2DG．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD＝AE，即可证明结论．

证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义），

∴DE∥AB，DE=AB（三角形中位线性质）．

∵AF∥BC，

∴四边形ABDF是平行四边形（平行四边形定义）．

∵BC=2AB，BC=2BD，

∴AB=BD．

∴四边形ABDF是菱形．

（2）∵四边形ABDF是菱形，

∴AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）．

∵DE=AB，

∴EF=AF．

∵G是AF的中点．

∴GF=AF，

∴GF=EF．

∴△FGD≌△FEA，

∴GD=AE，

∵AC=2EC=2AE，

∴AC=2DG．