Question

已知：抛物线与x轴交于A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）．
（1）求抛物线顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？

Answer 1

分析：（1）先设出过A（-2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解析式；
（2）先用待定系数法求出直线CD解析式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线CD的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），
∵C点坐标为（0，4），
∴a=-

1

2

，（1分）
∴解析式为y=-

1

2

x²+x+4，
顶点D坐标为（1，

9

2

）；（2分）

（2）直线CD解析式为y=kx+b．
则，

b=4 k+b= 9 2

，
∴

b=4 k= 1 2

，
∴直线CD解析式为y=

1

2

x+4，（3分）
∴E（-8，0），F（4，6），
若抛物线向下移m个单位，其解析式y=-

1

2

x²+x+4-m（m＞0），
由

y=- 1 2 x2+x+4-m y= 1 2 x+4

消去y，得-

1

2

x²+

1

2

x-m=0，
∵△=

1

4

-2m≥0，
∴0＜m≤

1

8

，
∴向下最多可平移

1

8

个单位．（5分）
若抛物线向上移m个单位，其解析式y=-

1

2

x²+x+4+m（m＞0），
方法一：当x=-8时，y=-36+m，
当x=4时，y=m，
要使抛物线与EF有公共点，则-36+m≤0或m≤6，
∴0＜m≤36；（7分）
方法二：当平移后的抛物线过点E（-8，0）时，解得m=36，
当平移后的抛物线过点F（4，6）时，m=6，
由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度，（7分）
综上，要使抛物线与EF有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移

1

8

个单位．

点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函数与一次函数的交点问题，有一定的难度．