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11.如图,在菱形ABCD中,AC、BD交于点O,BP∥AC,CP∥BD.
(1)求证:OP=AD;
(2)不添加任何辅助线的情况下,直接写出图中所有的平行四边形.

分析 (1)先由BP∥AC,CP∥BD,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形BPCO是平行四边形.根据菱形的性质得出AC⊥BD,∠BOC=90°,BC=AD,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出四边形BPCO是矩形,利用矩形的对角线相等得出OP=BC,等量代换得出OP=AD;
(2)由于菱形、矩形都是平行四边形,得出四边形ABCD,OBPC都是平行四边形.易证BP∥AO,BP=AO,那么四边形ABPO是平行四边形,那么AB与OP平行且相等,而AB与CD平行且相等,所以CD与OP平行且相等,得出四边形OPCD是平行四边形.

解答 (1)证明:∵BP∥AC,CP∥BD,
∴四边形BPCO是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠BOC=90°,BC=AD,
∴四边形BPCO是矩形,
∴OP=BC,
∴OP=AD;

(2)解:图中的平行四边形:四边形ABCD,四边形OBPC,四边形ABPO,四边形OPCD.

点评 本题考查了菱形的性质,平行四边形、矩形的判定与性质,掌握相关的定理与性质是解题的关键.

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(1)$\left\{\begin{array}{l}{y-2x=1}\\{3y+2x=19}\end{array}\right.$
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2.如果点A是线段BC外任意一点,则(  )
A.AB+AC<BCB.AB+AC=BCC.AB+AC>BCD.AB+AC≥BC

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19.如图,是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是20cm,每个台阶的高度都是10cm,连接AB,则AB等于(  )
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16.抛物线y=x2+bx+c(b<0)的顶点是D,与x轴交于点A和点B(A在B的左侧),与y轴交于点C,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CD′,且D′(-4,1)
(1)求抛物线的解析式:
(2)E是抛物线上一点,△BCE是以BC为斜边的直角三角形,求点E的坐标:
(3)在抛物线上是否存在点P,使点P关于直线CD的对称点P′恰好落在x轴上?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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3.绝对值是5的有理数是±5.

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20.如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,F为BE上的一点,连结CF并延长交AB于点M,MN⊥CM交射线AD于点N.
(1)当F为BE中点时,求证:AM=CE;
(2)若$\frac{AB}{BC}$=$\frac{EF}{BF}$=2,求$\frac{AN}{ND}$的值.

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1.(1)操作发现:
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D在线段BC上(不与点B重合),连接AD,将线段AD绕A点逆时针旋转90°得到AE,连接EC,如图①所示,请直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系.
(2)猜想论证:
在(1)的条件下,当D在线段BC的延长线上时,请你在图②中画出图形并判断(1)中的结论是否成立,并证明你的判断.
(3)拓展延伸:
如图③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,试探究:当锐角∠ACB等于45度时,线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C、E重合除外)?此时若作DF⊥AD交线段CE于点F,且当AC=3$\sqrt{2}$时,请直接写出线段CF的长的最大值是$\frac{3}{4}$.

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