如图,在□ABCD中,EF垂直平分AC交BC于E,交AD于F.
(1)求证:四边形AECF为菱形;
(2)若AC⊥CD,AB=6,BC=10,求四边形AECF的面积.
(1)证明见解析; (2)24.
【解析】
试题分析:(1)先根据垂直平分线的性质得∴AE=EC,AF=FC,所以∠1=∠2,∠3=∠4;再结合平行线的性质得出∠1=∠4=∠3,即AF=AE,利用四条边相等的四边形是菱形即可证明;
(2)根据平行四边形的判定和性质, 勾股定理求出菱形AECF的两对角线长,即可根据菱形的面积公式求得.
试题解析:(1)∵EF垂直平分AC,∴AO=OC.∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC. ∴∠1=∠4=∠3. ∴AF=AE.
∴AE=EC=CF=FA.∴四边形AECF是菱形.
(2)∵EF垂直平分AC,AC⊥CD,∴EF∥CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC. ∴四边形ECDF是平行四边形.
又∵AB=6,∴EF=CD= AB=6.
在Rt△ACD中, ∵CD=6,AD= BC=10,∴根据勾股定理,得AC=8.
∴四边形AECF的面积=×AC×EF=24.
考点:1.平行四边形的性质;2.菱形的判定;3.等腰三角形的判定与性质;4. 勾股定理;5. 菱形的面积.
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