Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是

1. A.
   ac＞0
2. B.
   当x＞0时，y随x的增大而减小
3. C.
   2a-b=0
4. D.
   方程ax²+bx+c=0的两根是x₁=-1，x₂=3

Answer 1

D
分析：由函数图象可得抛物线开口向下，得到a小于0，又抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c大于0，进而得到a与c异号，根据两数相乘积为负得到ac小于0，选项A错误；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，选项B错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，选项C错误；由抛物线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（-1，0），进而得到方程ax²+bx+c=0的两根分别为-1和3，选项D正确．
解答：由二次函数y=ax²+bx+c的图象可得：抛物线开口向下，即a＜0，
抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，即c＞0，
∴ac＜0，选项A错误；
由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；
当x＞1时，y随x的增大而减小，故选项B错误；
∵对称轴为直线x=1，∴-=1，即2a+b=0，选项C错误；
由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
则方程ax²+bx+c=0的两根是x₁=-1，x₂=3，选项D正确．
故选D
点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，二次函数ax²+bx+c=0（a≠0），a的符合由抛物线的开口方向决定，c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符合由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．