Question

如图，抛物线C₁：y=ax²+bx-1与x轴交于两点A（-1，0），B（1，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）若点D为抛物线C₁上任意一点，且四边形ACBD为直角梯形，求点D的坐标；
（3）若将抛物线C₁先向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到抛物线C₂，直线l₁是第一、三象限的角平分线所在的直线．若点P是抛物线C₂对称轴上的一个动点，直线l₂：x=t平行于y轴，且分别与抛物线C₂和直线l₁交于点D、E两点．是否存在直线l₂，使得△DEP是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在求出t的值；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，把A、B的坐标代入函数解析式，即可求得函数的解析式；
（2）首先可以求得C的坐标，可以得到∠ACB=90°，则分AD∥BC和AC∥BC两种情况进行讨论，当AD∥BC时，首先求得AD的解析式，然后解AD得解析式与二次函数的解析式组成的方程组，即可求得D的坐标．同法，可以求得当AC∥BC时的坐标；
（3）首先写出C₂与直线l₁的解析式，当x=t时，D、E的纵坐标分别是：（t-2）²和t，则DE=|t-（t-2）²|，PE=|t-2|，根据△DEP是以DE为直角边的等腰直角三角形，则PE=DE，据此即可得到关于t的方程，解方程求得t的值．

解答：解：（1）根据题意得：

a-b-1=0 a+b-1=0

，
解得：

a=1 b=0

则函数的解析式是：y=x²-1；

（2）在y=x²-1中，令x=0，解得：y=-1，则C的坐标是（0，-1）．
则OA=OB=OC=1，
则△OAC和△OBC都是等腰直角三角形，
则∠ACB=90°，
设直线AC的解析式是y=kx+b，则

b=-1 -k+b=0

，解得：

b=-1 k=-1

，则直线AC的解析式是：y=-x-1，
同理，BC的解析式是：y=x-1．
当AD∥BC时，设AD的解析式是：y=x+c，把A（-1，0）代入得：-1+c=0，解得：c=1，
则AD的解析式是：y=x+1，
解方程组：

y=x+1 y=x2-1

，解得：

x=2 y=3

，则D的坐标是（2，3）；
同理，当AC∥BC时，可以求得D的坐标是：（-2，3）．
故D的坐标是（2，3）或（-2，3）；

（3）抛物线C₂的解析式是y=（x-2）²，则对称轴是：x=2，则P的横坐标是2．
直线l₁的解析式是y=x．
当x=t时，D、E的纵坐标分别是：（t-2）²和t，则DE=|t-（t-2）²|，
PE=|t-2|，
∵△DEP是以DE为直角边的等腰直角三角形，
∴PE=DE，
则：|t-（t-2）²|=|t-2|，
解得：t=3±

3

或2±

2

．

点评：本题是二次函数的综合题型，考查了抛物线解析式的确定、等腰直角三角形的性质，注意（2）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．