Question

11．某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完、该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图（1）中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图（2）中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）写出每件产品A的销售利润y与上市时间t的关系式；
（3）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？

Answer 1

分析 （1）根据0≤t≤30、30＜t≤40两种情况，利用待定系数法分别求解可得；
（2）分0≤t≤20、20＜t≤40两种情况，分别求解可得；
（3）分0≤t≤20、20＜t≤30、30＜t≤40三种情况，根据总利润=每件产品利润×日销售量，分别求出其最大值，比较后即可得．

解答 解：（1）由图1可得，
当0≤t≤30时，设市场的日销售量y=kt，
∵点（30，60）在图象上，∴60=30k，
∴k=2，即y=2t；
当30＜t≤40时，设市场的日销售量y=k₁t+b，
∵点（30，60）和（40，0）在图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{30{k}_{1}+b=60}\\{40{k}_{1}+b=0}\end{array}\right.$
解得k₁=-6，b=240．
∴y=-6t+240．
故y=$\left\{\begin{array}{l}{2t}&{（0≤t≤30）}\\{-6t+240}&{（30＜t≤40）}\end{array}\right.$；

（2）由图②可得：
当0≤t≤20时，每件产品的日销售利润为y=3t；
当20＜t≤40时，每件产品的日销售利润为y=60；
故y=$\left\{\begin{array}{l}{3t}&{（0≤t≤20）}\\{60}&{（20＜t≤40）}\end{array}\right.$；

（3）①当0≤t≤20时，
y=3t•2t=6t²．
t=20时，y的最大值为2400（万元）；
②当20＜t≤30时，
y=2t•60=120t．
t=30时，y的最大值为3600（万元）；
③当30＜t≤40时，
y=60（-6t+240）
=-360t+14400
∵k=-360＜0，
∴y随t的增大而减小．
∴y＜-360×30+14400
即y＜3600（万元）
∴第30天取最大利润3600万元．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，根据t的不同范围分类讨论是解题的关键．