Question

【题目】【本小题满分11分】如图，已知抛物线的顶点D的坐标为（1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．

（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；

（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；

（3）当P点的横坐标时，过p点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）﹣4≤m≤0；（3）P（，）或P（，）．

【解析】

试题（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据等腰直角三角形的性质，可得射线AC、AD，根据角越小角的对边越小，可得PA在在射线AC与AD之间，根据解方程组，可得E点的横坐标，根据E、C点的横坐标，可得答案；

（3）分两种情况，P在第二象限和P在第三象限讨论．

试题解析：（1）由A、B点的函数值相等，得：A、B关于对称轴对称．A（4，0），对称轴是x=1，得：B（﹣2，0）．将A、B、D点的坐标代入解析式，得：，解得：，抛物线所对应的二次函数的表达式；

（2）如图1作C点关于原点的对称点D，OC=OD=OA=4，∠OAC=∠DAO=45°，AP在射线AC与AD之间，∠PAO＜45°，直线AD的解析式为，联立AD于抛物线，得：，解得x=﹣4或x=4，∵E点的横坐标是﹣4，C点的横坐标是0，P点的横坐标的取值范围是﹣4≤m≤0；

（3）存在P点，使∠QPO=∠BCO，①若点P在第二象限，如图2，设P（a，），由∠QPO=∠BCO，∠PQO=CBO=90°，∴△PQO∽△COB，∴，即=，化简，得，解得或（不符合题意，舍），∴=，∴P点坐标为（，）；

②若点P在第三象限，如图3，由△PQO∽△COB，∴PQ：CO=OQ：OB，∵B(－2，0)，C（0，－4），∴PQ=2QO，∴点P坐标为（m，），代入，得：，解得：，∵，∴，∴=，∴P的坐标为（，）；

∴满足条件的点为P（，）或P（，）．