Question

如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

Answer 1

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4-2，即：a=；
∴抛物线的解析式为：y=x²-x-2。
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA﹒OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b
当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
x+b=x²﹣x﹣2，即： x²﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；
∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=4；
∴直线l：y=x﹣4．
由于S_△MBC=BC×h，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：
，解得：
M（2，﹣3）。