Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，O为AC的中点
（1）用直尺和圆规作出△ABC关于点O的中心对称图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若点B关于点O中心对称的点为D，判断四边形ABCD的形状并证明．

Answer 1

考点：作图-旋转变换,矩形的判定

专题：作图题,证明题

分析：（1）作射线BO，根据中心对称的性质截取OD=BO，连接AD、CD即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AO=BO=CO，再根据中心对称的性质可得BO=DO，然后求出AO=CO=BO=DO，再根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明．

解答：（1）解：如图所示；

（2）四边形ABCD为矩形．
证明：∵在△ABC中，∠B=90°，O为AC的中点，
∴AO=CO=BO，
∵B关于点O的对称点为D，
∴BO=DO，
∴AO=CO=BO=DO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．

点评：本题考查了利用旋转变换坐标，矩形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．