Question

【题目】如图，在□ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，交AD于点F，G为AD边上一点，且AB＝AG，连接GE．

（1）如图1，若点G为DF的中点，AF＝2，EG＝4，∠B＝60°，求AC的长；

（2）如图2，连接CG交DE于点H，若EG∥CD，∠ACB＝∠DCG，求证：∠ECG＝2∠AEF．

Answer 1

【答案】（1）AC＝；（2）见解析．

【解析】

（1）过点C作CH⊥AD，交AD于点H，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到FD和EG的长，即可得到AD的长，然后通过含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出AC的长；

（2）根据平行四边形和∠ACB＝∠DCG得到∠DAC＝∠DCG，再根据全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等边对等角及平行线的性质证明两角的倍数关系．

（1）如图，过点C作CH⊥AD，交AD于点H，

∵EF⊥DE，

∴△FED是直角三角形，

又G是斜边FD的中点，

∴FD＝2EG＝2×4＝8，EG＝FG＝4，

∴AD＝AF+FD＝2+8＝10，

∵AG＝AF+GF，

∴AG＝2+4＝6，

∴CD＝AB＝AG＝6，

∵∠B＝60°，

∴∠HDC＝60°，

在Rt△AHC中，HD＝CD＝3，

HC＝HD＝3，

∵AH＝AD﹣HD＝10﹣3＝7，

在Rt△AHC中，AH2+HC2＝AC2，

∴AC＝＝＝2；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵∠ACB＝∠DCG，

∴∠DAC＝∠DCG，

∵AB＝AG，

∴CD＝AG，

∵EG∥CD，

∴∠AGE＝∠ADC，∠DCG＝∠EGC，

在△AEG和△CGD中，

∴△AEG≌△CGD（ASA），

∴AE＝CG，GE＝DG，

∴∠GED＝∠GDE，

∵EF⊥ED，

∴∠FED＝90°，

∴∠GED+∠FEG＝90°，

∴∠GDE+∠DFE＝90°，

∴∠FEG＝∠DFE，

又∠GCD＝∠EGC＝∠DAC，

在EG上截取GM＝AF，连接CM，

在△AFE和△GMC中，

，

∴△AFE≌△GMC（SAS），

∴∠AEF＝∠GCM，∠AFE＝∠GMC，

∴∠DFE＝∠EMC，

∵∠FEG＝∠DFE，

∴∠FEG＝∠EMC，

∴FE∥CM，

∴∠AEF＝∠ECM，

∴∠AEF＝∠ECM＝∠GCM，

∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝2∠AEF．