Question

2．阅读下列解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，试判断△ABC的形状．
解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，①
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），②
∴c²=a²+b²，③
∴△ABC为直角三角形．④
回答下列问题：
（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？该步的序号为：③；
（2）错误的原因为：除式可能为零；
（3）请你将正确的解答过程写下来．

Answer 1

分析 （1）（2）等式两边都除以a²-b²，而a²-b²的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
（3）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．

解答 解：（1）③；
（2）除式可能为零；
（3）∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），
∴a²-b²=0或c²=a²+b²，
当a²-b²=0时，a=b；
当c²=a²+b²时，∠C=90°，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故答案是③，除式可能为零．

点评 本题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理的应用，分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．