Question

某公司经销一种商品，每件商品的成本为50元，经市场的调查，在一段时间内，销售量w （件）随销售单价x（元/件）的变化而变化，具体关系式为w=-2x+240，设这种商品在这段时间内的销售利润为y（元），解答如下问题：
（1）求y与x的关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大？
（3）如果物价部门规定这种商品的销售单价不得高于80元/件，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

Answer 1

解：（1）由题意得，销售一件的利润为（x-50），销售量为-2x+240，
故可得y=w（x-50）=（-2x+240）（x-50）=-2x²+340x-12000．
（2）由（1）得：y=-2x²+340x-12000=-2（x-85）²+2450，
当x=85时，y有最大值2450．
（3）由题意得：-2（x-85）²+2450=2250，
化简得：（x-85）²=100，
解得x=75或x=95，
∵销售单价不得高于80元/件，
∴销售单价应定为75元．
答：公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为75元．
分析：（1）由题意得销售一件的利润为（x-50），再由销售总利润=销售量×销售一件的利润可得出y与x的关系式；
（2）利用配方法求二次函数的最值即可．
（3）根据（1）所得的关系式，可得出方程，解出即可得出答案．
点评：此题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出y与x的函数关系式，另外要求我们熟练掌握配方法求二次函数最值．