Question

12．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE绕点E顺时针旋转得到△A₁B₁E，点B₁在正方形ABCD内，连接AA₁、BB₁；
（1）求证：△AA₁E∽△BB₁E；
（2）延长BB₁分别交线段AA₁，DC于点F、G，求证：AF=A₁F；
（3）在（2）的条件下，若AB=4，BE=1，G是DC的中点，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）由EB=EB₁，EA=EA₁，可得∠EBB₁=∠EB₁B，∠EAA₁=∠EA₁A，由∠BEB₁=∠AEA₁，可得∠EBB₁=∠EB₁B=∠EAA₁=∠EA₁A，由此即可证明；
（2）连接BF，延长EB₁交AA₁于M．由△MFB₁∽△MEA₁，推出△MEF∽△MA₁B₁，推出∠MFE=∠MB₁A₁=90°，即EF⊥AA₁，由EA=EA₁，可得AF=FA₁；
（3）首先求出AE，由cos∠GBC=cos∠EAF=$\frac{BC}{BG}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，在Rt△AEF中，根据AF=AE•cos∠EAF，计算即可；

解答 （1）证明：如图∵EB=EB₁，EA=EA₁，
∴∠EBB₁=∠EB₁B，∠EAA₁=∠EA₁A，
∵∠BEB₁=∠AEA₁，
∴∠EBB₁=∠EB₁B=∠EAA₁=∠EA₁A，
∴△AA₁E∽△BB₁E．

（2）证明：连接BF，延长EB₁交AA₁于M．
∵∠BB₁B=∠FB₁M=∠MA₁E，∠FMB₁=∠EMA₁，
∴△MFB₁∽△MEA₁，
∴$\frac{MF}{ME}$=$\frac{M{B}_{1}}{M{A}_{1}}$，
∴$\frac{MF}{M{B}_{1}}$=$\frac{ME}{M{A}_{1}}$，∵∠EMF=∠A₁MB₁，
∴△MEF∽△MA₁B₁，
∴∠MFE=∠MB₁A₁=90°，
∴EF⊥AA₁，
∵EA=EA₁，
∴AF=FA₁．

（3）解：在Rt△ABE中，∵AB=4，BE=1，
∴AE=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵DG=GC，
∴cos∠GBC=cos∠EAF=$\frac{BC}{BG}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△AEF中，AF=AE•cos∠EAF=$\sqrt{17}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{85}}{5}$．

点评 本题考查相似综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．