Question

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=$\frac{12}{13}$．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A，C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）若△AME∽△ENB，求AP的长．

Answer 1

分析 （（1）本题需先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值．
（2）本题需先根据EN，根据sin∠EMP=$\frac{12}{13}$，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出$\frac{PE}{AP}$=$\frac{BC}{AC}$，求出a的值，即可得出y关于x的函数关系式，并且能求出函数的定义域．
（3）本题需先设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分①点E在AC上时，根据△AEP∽△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长；②点E在BC上时，根据△EBP∽△ABCC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{5{0}^{2}-3{0}^{2}}$=40，
∵CP⊥AB，
∴$\frac{AB•CP}{2}$=$\frac{AC•BC}{2}$，
∴$\frac{30×40}{2}$=$\frac{50•CP}{2}$，
∴CP=24，
∴CM=$\frac{CP}{sin∠EMP}$=$\frac{24}{\frac{12}{13}}$=26；

（2）∵sin∠EMP=$\frac{12}{13}$，
∴设EP=12a，
则EM=13a，PM=5a，
∵EM=EN，
∴EN=13a，PN=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴$\frac{PE}{AP}=\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{12a}{x}$=$\frac{30}{40}$
∴x=16a，
∴a=$\frac{x}{16}$，
∴BP=50-16a，
∴y=50-21a，
=50-21×$\frac{x}{16}$，
=50-$\frac{21}{16}$x，
∵当E点与A点重合时，x=0．当E点与C点重合时，x=32．
∴函数的定义域是：（0＜x＜32）；
（3）
①当点E在AC上时，如图2，设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{EP}{BC}$，
∴$\frac{AP}{40}$=$\frac{12a}{30}$，
∴AP=16a，
∴AM=11a，
∴BN=50-16a-5a=50-21a，
∵△AME∽△ENB，
∴$\frac{AM}{EN}$=$\frac{EM}{NB}$
∴$\frac{11a}{13a}$=$\frac{13a}{50-21a}$，
∴a=$\frac{11}{8}$，
∴AP=16×$\frac{11}{8}$=22，
②当点E在BC上时，如图（备用图），设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，
∵△EBP∽△ABC，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{EP}{AC}$，
即$\frac{BP}{30}$=$\frac{12a}{40}$，
解得BP=9a，
∴BN=9a-5a=4a，AM=50-9a-5a=50-14a，
∵△AME∽△ENB，
∴$\frac{AM}{EN}$=$\frac{ME}{BN}$，
即$\frac{50-14a}{13a}$=$\frac{13a}{4a}$，
解得a=$\frac{8}{9}$，
∴AP=50-9a=50-9×$\frac{8}{9}$=42．
所以AP的长为：22或42．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形，在解题时要注意知识的综合应是解本题的关键．