Question

16．已知：二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧，点A、点B的横坐标是一元二次方程x²-4x-12=0的两个根．
（1）直接写出点A、点B的坐标：A（-2，0），B（6，0）．
（2）求出该二次函数的解析式及对称轴；
（3）若点P是抛物线对称轴上的一个动点，d=|BP-CP|，探究：是否存在一点P，使得d的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用分解因式法解方程x²-4x-12=0，即可求出点A、B的横坐标，由此即可得出结论；
（2）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可得出抛物线的对称轴；
（3）连接AC并延长，交抛物线对称轴于点P，连接PB，利用三角形的三边关系来说明此时d最大．令抛物线解析式中x=0求出y值，即可得出点C的坐标，根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，联立直线AC与抛物线的对称轴成方程组，解方程组即可得出点P的坐标，此题得解．

解答 解：（1）x²-4x-12=（x+2）（x-6）=0，
解得：x₁=-2，x₂=6，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-2，0），B（6，0）．
故答案为：（-2，0）；（6，0）．
（2）将A（-2，0）、B（6，0）代入y=ax²+bx+6中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+6=0}\\{36a+6b+6=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴该二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
∴该抛物线的对称轴为x=2．
（3）连接AC并延长，交抛物线对称轴于点P，连接PB，如图所示．
∵A、B关于对称轴对称，
∴PA=PB，
∵三角形的两边之差小于第三边，
∴当点A、C、P共线时，|BP-CP|最大．
令y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6中x=0，则y=6，
∴C（0，6）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点A（-2，0）、C（0，6）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=3x+6．
联立直线AC与抛物线对称轴得：$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+6}\\{x=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=12}\end{array}\right.$．
故存在一点P，使得d的值最大，此时点P的坐标为（2，12）．

点评 本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）利用分解因式法解一元二次方程；（2）利用待定系数法求抛物线解析式；（3）确定点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合抛物线的对称性以及三角形的三边关系确定点P的位置是关键．