Question

【题目】知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.

问题：如图1，是等腰三角形，，是的中点，以为腰作等腰，且满足，连接并延长交的延长线于点，试探究与之间的数量关系.

图1

发现：（1）与之间的数量关系为 .

探究：（2）如图2，当点是线段上任意一点（除、外）时，其他条件不变，试猜想与之间的数量关系，并证明你的结论.

图2

拓展：（3）当点在线段的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出的形状.

备用图

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质即可得；

（2）由等腰直角三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；

（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证，进而根据角度的代换，得出结论．

解：（1）.

∵△ABC是等腰三角形，且，

，.

，

，

，

.

是以为腰的等腰三角形，

.

在与中，，，，

，

.

，

，

，

，

，

.

（2）.

证明：是等腰三角形，且，

，.

，

，

，

.

是以为腰的等腰三角形，

.

在与中，，，，

，

.

，

，

，

，

，

.

（3）是等腰直角三角形.

提示：如图，

是等腰三角形，，

，.

，

，

，

.

是以为腰的等腰三角形，

.

在与中，，，，

，

.

，

，

，

，

，

是等腰三角形，

，

是等腰直角三角形.