【题目】如图,以AB为直径的⊙O外接于△ABC,点D在BC的延长线上,∠ABC的角平分线与AD交于E点,与AC交于F点,且AE=AF.
(1)证明直线AD是⊙O的切线;
(2)若AD=16,sinD=,求BC的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°,根据等腰三角形的性质得到∠AEF=∠AFE,根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBF,求得∠BAE=90°,于是得到结论;
(2)设AB=4k,BD=5k,得到AD=3k.求得AB=,根据三角函数的定义即可得到结论.
(1)∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵AF=AE,
∴∠AEF=∠AFE,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBF,
∵∠CFB=∠AFE,
∴∠CFB=∠AEB.
∵∠CFB+∠FBC=90°,
∴∠ABE+∠AEB=90°,
即∠BAE=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴直线AD是⊙O的切线;
(2)解:设AB=4k,BD=5k,
∴AD=3k.
∵AD=16,
∴k=,
∴AB=,
∵∠BAD=∠ACB=90°,
∴∠D+∠CAD=∠CAD+∠BAC=90°,
∴∠D=∠BAC,
∴sin∠BAC=sin D=.
∵sin∠BAC==,
∴BC=.
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【题目】某公司生产一种饮料是由A,B两种原料液按一定比例配制而成,其中A原料液的成本价为15元/千克,B原料液的成本价为10元/千克,按现行价格销售每千克获得70%的利润率.由于市场竞争,物价上涨,A原料液上涨20%,B原料液上涨10%,配制后的总成本增加了12%,公司为了拓展市场,打算再投入现总成本的25%做广告宣传,如果要保证每千克利润不变,则此时这种饮料的利润率是
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x与反比例函数y=的图象交于A,B两点(点A在点B左侧),已知A点的纵坐标是2:
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将直线l1:y=﹣x向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点C,如果△ABC的面积为30,求平移后的直线l2的函数表达式.
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【题目】如右图,把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉,得正方形A1B1C1D1,且剩下图形的面积为原正方形面积的,则AA1=_____.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=4,点E、F分别在线段AD、AB上,将△AEF沿EF翻折,使得点A落在矩形ABCD内部的P点,连接PD,当△PDE是等边三角形时,BF的长为_____.
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【题目】如图,O为正方形ABCD对角线上一点,以点O为圆心,OA长为半径的
⊙ O与BC相切于点E.
(1)求证:CD是⊙ O的切线;
(2)若正方形ABCD的边长为10,求⊙O的半径.
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【题目】如图的网格中,每个小正方形的边长均为,线段的端点都在小正方形的顶点上.(要求:下面所画图形的点都在小正方形的顶点上)
在图中画一个以线段为一边的等腰三角形,,使的面积是.
在图中画一个以线段为一边的矩形,使矩形的面积是,并直接写出矩形的周长
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【题目】如图所示,四边形ABCD是菱形,边BC在x轴上,点A(0,4),点B(3,0),双曲线y=与直线BD交于点D、点E.
(1)求k的值;
(2)求直线BD的解析式;
(3)求△CDE的面积.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下定义:
若|x1x2|≥|y1y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1x2|;
若|x1x2||y1y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1y2|.
例如:点P1(1,2),点P2(3,5),因为|13||25|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|25|3,也就是图中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点).
(1)已知点A(0,1),
①在B(,0),C(2,1),D(1,2),E(0,)四个点中,与点A的“非常距离”为的点是;
②点F为x轴上一动点,直接写出点A与点F的“非常距离”的最小值;
(2)已知点M是直线y2x6上的一个动点,
①点G的坐标是(0,2),求点M与点G的“非常距离”的最小值及相应的点M的坐标;
①点N是以点(4,0)为圆心,为半径的圆上的一个动点,直接写出点M与点N的“非常距离”的最小值及相应的点M的坐标.
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