Question

8．如图，已知点A为⊙O内一点，点B、C均在圆上，∠C=30°，∠A=∠B=45°，线段OA=$\sqrt{3}$-1，则阴影部分的周长为（　　）

• A． $\frac{4π}{3}$+2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$+2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$+$\sqrt{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 延长AO交BC于点D，连接OB，由∠A=∠ABC=45°，得到AD=BD，∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据垂径定理得到BD=CD．在Rt△COD中，设OD=x，∠C=30°，得到OC=2x，CD=$\sqrt{3}$x=AD，则OA=AD-OD=$\sqrt{3}$x-x=（$\sqrt{3}$-1）x=$\sqrt{3}$-1，解得x=1，则OD=1，OC=2，然后由弧长公式进行解答即可．

解答 解：延长AO交BC于点D，连接OB．
∵∠A=∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∴BD=CD．
在Rt△COD中，设OD=x，
∵∠C=30°，
∴∠COD=60°，OC=2x，CD=$\sqrt{3}$x．
∴∠COB=120°，AD=$\sqrt{3}$x．
∴OA=AD-OD=$\sqrt{3}$x-x=（$\sqrt{3}$-1）x．
而OA=$\sqrt{3}$-1，
∴x=1，即OD=1，OC=2，BC=2CD=2$\sqrt{3}$．
∴阴影部分的周长为：$\frac{120π×2}{180}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{4π}{3}$+2$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了弧长的计算．此题实际上是求劣弧BC的长度和弦BC的长度．注意：含30度得直角三角形三边的关系．