Question

15．在平面直角坐标系中，一动点A在双曲线y=$\frac{12}{x}$上（x＞0）移动，A点关于x、y轴的对称点分别为点B、D，B点关于y轴的对称点是点C，AB、CD分别交x轴于点P、Q，AD、BC分别交y轴于点M、N．
（1）四边形ABCD是矩形；
（2）试判断四边形PMQN的形状，并说明理由；
（3）求证：无论点A在双曲线y=$\frac{12}{x}$上（x＞0）如何移动，四边形PMQN的面积是定值．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质即可得出结论；
（2）根据矩形的性质即可得出结论；
（3）根据点A在反比例函数y=$\frac{12}{x}$上，故可得出矩形的面积是定值，由此可得出结论．

解答 （1）解：∵点A、B关于x轴对称，点A、D关于y轴对称，
∴AB⊥AD．
∵点CD关于x轴对称，
∴CD=AB，AD=BC，
∴四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩；

（2）解：由（1）知，四边形ABCD是矩形，且点A、B关于x轴对称，点A、D关于y轴对称，
∴AP=BP，DM=AM，
∴PM=MQ．
同理PM=MQ=QN=PN，
∴四边形PMQN是菱形；

（3）∵点A在双曲线y=$\frac{12}{x}$上（x＞0），
∴矩形AMOP的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12×4=48，
∵Q、M、P、N分别为矩形四边的中点，
∴四边形PMQN的面积是定值24．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义及矩形的判定与性质等知识，先根据题意判断出四边形ABCD是矩形是解答此题的关键．