Question

已知关于x的一元二次方程（x﹣m）²+6x=4m﹣3有实数根.

（1）求m的取值范围；

（2）设方程的两实根分别为x₁与x₂，求代数式x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²的最大值.

Answer 1

（1）由（x﹣m）²+6x=4m﹣3，得x²+（6﹣2m）x+m²﹣4m+3=0，
∴△=b²﹣4ac=（6﹣2m）²﹣4×1×（m²﹣4m+3）=﹣8m+24。
∵方程有实数根，∴﹣8m+24≥0，解得 m≤3。
∴m的取值范围是m≤3。

（2）∵方程的两实根分别为x₁与x₂，由根与系数的关系，得
∴x₁+x₂=2m﹣6，x₁·x₂= m²﹣4 m＋3。
∴x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²="3" x₁•x₂﹣（x₁+x₂）²=3（m²﹣4m+3）﹣（2m﹣6）²=﹣m²+12m﹣27
=﹣（m﹣6）²+9。
∵m≤3，且当m＜6时，﹣（m﹣6）²+9的值随m的增大而增大，
∴当m=3时，x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²的值最大，最大值为﹣（3﹣6）²+9=0。
∴x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²的最大值是0。

（1）将原方程转化为关于x的一元二次方程，由于方程有实数根，故根的判别式大于0，据此列不等式解答即可；
（2）将x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²化为两根之积与两根之和的形式，将含m的代数式代入，利用二次函数的最值求解即可。