Question

如图，已知△ABC是边长为2

3

的等边三角形．点E、F分别在CB和BC的延长线上，且∠EAF=12O°，设BE=x，CF=y．
（1）求y与x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，△ABE≌△FCA．

Answer 1

分析：（1）由已知可推出∠E=∠CAF，根据外角的性质可得∠EBA=∠ACF，从而可判定△ABE∽△FCA，根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系，从而不难求解．
（2）根据全等三角形的对应边相等可以求得x的值．

解答：解：（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵∠EAF=120°，
∴∠EAB+∠CAF=60°
∵∠EAB+∠E=∠ABC=60°
∴∠E=∠CAF
∵∠EBA=∠ACF=120°
∴△ABE∽△FCA，
∴EB：AC=BA：CF，即x：2

3

=2

3

：y
∴y=

12

x

（自变量x的取值范围为x＞0）．即y与x的函数表达式是y=

12

x

（x＞0）．

（2）若△ABE≌△FCA时，BE=CA，即x=2

3

．
所以，当x=2

3

时，△ABE≌△FCA．

点评：本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．