Question

13．如图，在?ABCD中，过对角线AC的中点O作直线E，F分别与AD，BC交于点E，F，连接BE，AF相交于点G，连结EC，FD相交于点H，图中有几个平行四边形，为什么？

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，得出∠OAE=∠OCF，由ASA证明△AOE≌△COF，得出OE=OF，证出四边形AECF为平行四边形，得出AE=CF，AF∥CE，证出DE=BF，得出四边形DEBF为平行四边形，得出BE∥DF，证出四边形EGFH为平行四边形．

解答 解：图中共有4个平行四边形，分别是四边形ABCD，四边形AECF，四边形DEBF，四边形EGFH；理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠OAE=∠OCF，
∵O为AC中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴AC与EF相互平分，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AE=CF，AF∥CE，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴DE=AD-AE=BC-CF=BF，
∴DE=BF，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴BE∥DF，
∵AF∥CE，
∴四边形EGFH为平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．