Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于双曲线和双曲线，如果，则称双曲线和双曲线为“倍半双曲线”，双曲线是双曲线的“倍双曲线”，双曲线是双曲线的“半双曲线”，

(1)请你写出双曲线的“倍双曲线”是_____；双曲线的“半双曲线”是______；

(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知点是双曲线在第一象限内任意一点，过点与轴平行的直线交双曲线的“半双曲线”于点，求的面积；

(3)如图2，已知点是双曲线在第一象限内任意一点，过点与轴平行的直线交双曲线的“半双曲线”于点，过点与轴平行的直线交双曲线的“半双曲线”于点，若的面积记为，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)，；(2)的面积为1；(3).

【解析】

(1)直接利用“倍双曲线”的定义即可；

(2)利用双曲线的性质即可；

(3)先利用双曲线上的点设出的横坐标，进而表示出的坐标；

用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；

(1)由“倍双曲线”的定义

∴双曲线，的“倍双曲线”是；

双曲线的“半双曲线”是．

故答案为，；

(2)如图1，

∵双曲线的“半双曲线”是，

∴的面积为2，的面积为1，

∴的面积为1．

(3)如图2，

依题意可知双曲线的“半双曲线”为，

设点的横坐标为，则点坐标为，点坐标为，

∴．

∴．

同理．

∴

∵，

∴．

∴，