Question

如图，AB为⊙O的直径，PF切⊙O于A，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=8，过C作CF与AB、PA、⊙O分别交于E、D、F，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求：
（1）AB的长；
（2）tan∠ECB的值．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接AD、BD；可设CE=6x，AE=2y，进而根据已知条件，用x、y表示出DE、BE的长，由相交弦定理，即可求得x、y的比例关系；易证得△AEC∽△BED，根据所得成比例线段，即可求得BD的长，同理可设BC=m，由△BEC∽△DEA，求得AD的表达式；在Rt△ADB和Rt△ACB中，可由勾股定理分别表示出AB²，即可得到关于m的方程，从而求出m的值，即BC的长，即可由勾股定理求得AB的长；
（2）根据圆周角定理知：∠ECB=∠DAB，因此只需在Rt△ABD中，求出∠DAB的正切值即可．

解答：解：（1）设CE=6x，AE=2y，则DE=5x，BE=3y；
由相交弦定理，得：AE•EB=CE•DE，
即：2y•3y=5x•6x，
解得：

5

x=y；
∵∠ACD=∠ABD，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC∽△DEB，则有：

AC

BD

=

AE

DE

；
∵AE=2y=2

5

x，DE=5x，
∴

AC

BD

=

2 5

5

，由于AC=8，则BD=4

5

；
设BC=m，同理可求得AD=

5

3

m；
∵AB是直径，∴△ACB、△ADB是直角三角形；
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²=AD²+BD²，即：
8²+m²=（

5

3

m）²+（4

5

）²，解得m=6；
故BC=6，AD=2

5

；
故AB=

AC2+BC2

=10；

（2）由（1）得：tan∠ECB=tan∠DAB=

BD

AD

=2．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质与圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．