Question

4．正五边形ABCDE．
（1）若M，N分别是边DE，AE的中点，连接CM，DN，求证：$\frac{1}{2}$DE²=DP•DN：
（2）若O为边BD的中点，连接EO并延长交BC于点G．求$\frac{BG}{CG}$的值；
（3）若G为BC的中点．连接EG交BD于H．若AB=$\sqrt{5}$+1．直接写出BH的长

Answer 1

分析 （1）首先证明△CDM≌△DEN，可得∠DCM=∠NDE，∠CMD=∠DNE，CM=DN，由△MPD∽△MDC，可得DM²=MP•MC，由△DPM∽△DEN，可得$\frac{DP}{PM}$=$\frac{DE}{EN}$=2，推出PM=$\frac{1}{2}$PD，由此即可解决问题；
（2）如图2中，连接BE，延长EG交DC的延长线于H，在EB上取一点M，使得EM=AE，连接AM，设AB=AE=CD=EM=a，BM=x．由△ABM∽△EBA，可得AB²=BM•BE，即a²=x（x+a），解得$\frac{x}{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（舍弃），推出$\frac{BE}{BM}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$易知BE∥DH，可得$\frac{OB}{OD}$=$\frac{BE}{DH}$=1，推出BE=DH，由CD=EM，推出CH=BM，可得$\frac{BG}{GC}$=$\frac{BE}{CH}$=$\frac{BE}{BM}$，由此即可解决问题；
（3）如图3中，连接BE，延长EG交DC的延长线于M．由AB=$\sqrt{5}$+1，由（2）可知，BE=BD=$\sqrt{5}$+3，由BE∥DM，可得$\frac{BG}{GC}$=$\frac{BE}{CM}$=1，推出BE=CM=$\sqrt{5}$+3，推出DM=$\sqrt{5}$+3+$\sqrt{5}$+1=2$\sqrt{5}$+4，由$\frac{BH}{HD}$=$\frac{BE}{DM}$=$\frac{\sqrt{5}+3}{2\sqrt{5}+4}$，推出$\frac{BH}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}+3}{3\sqrt{5}+7}$，由此即可求出BH；

解答 （1）证明：如图1中，

∵ABCDE是正五边形，
∴CD=DE=AE，∠CDM=∠DEN，
∵AN=NE，DM=EM．
∴DM=EN，
∴△CDM≌△DEN，
∴∠DCM=∠NDE，∠CMD=∠DNE，CM=DN，
∵∠PMD=∠DMC，
∴△MPD∽△MDC，
∴$\frac{MP}{DM}$=$\frac{DM}{MC}$，
∴DM²=MP•MC，
∵∠DMP=∠DNE，∠PDM=∠NDE，
∴△DPM∽△DEN，
∴$\frac{DP}{DE}$=$\frac{PM}{EN}$，
∴$\frac{DP}{PM}$=$\frac{DE}{EN}$=2，
∴PM=$\frac{1}{2}$PD，
∵DM²=$\frac{1}{4}$DE²，
∴$\frac{1}{4}$DE²=$\frac{1}{2}$DP•CM，
∵CM=DN，
∴$\frac{1}{2}$DE²=DP•DN．

（2）解：如图2中，连接BE，延长EG交DC的延长线于H，在EB上取一点M，使得EM=AE，连接AM，设AB=AE=CD=EM=a，BM=x．

∵∠BAE=108°，∠AEB=36°，EA=EM，
∴∠EAM=∠EMA=72°，∠BAM=36°，
∴∠BAM=∠BEA，∵∠ABM=∠ABE，
∴△ABM∽△EBA，
∴AB²=BM•BE，
∴a²=x（x+a），
可得：（$\frac{x}{a}$）²+$\frac{x}{a}$-1=0，
解得$\frac{x}{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（舍弃），
∴$\frac{BM}{ME}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{BE}{BM}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
易知BE∥DH，
∴$\frac{OB}{OD}$=$\frac{BE}{DH}$=1，
∴BE=DH，
∵CD=EM，
∴CH=BM，
∴$\frac{BG}{GC}$=$\frac{BE}{CH}$=$\frac{BE}{BM}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．
（3）解：如图3中，连接BE，延长EG交DC的延长线于M．

∵AB=$\sqrt{5}$+1，由（2）可知，BE=BD=$\sqrt{5}$+3，
∵BE∥DM，
∴$\frac{BG}{GC}$=$\frac{BE}{CM}$=1，
∴BE=CM=$\sqrt{5}$+3，
∴DM=$\sqrt{5}$+3+$\sqrt{5}$+1=2$\sqrt{5}$+4，
∵$\frac{BH}{HD}$=$\frac{BE}{DM}$=$\frac{\sqrt{5}+3}{2\sqrt{5}+4}$，
∴$\frac{BH}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}+3}{3\sqrt{5}+7}$，
∴BH=2．

点评 本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．