Question

已知，正方形ABCD的边长为4，用一块直角三角板如图1放置，直角顶点P与正方形的顶点A重合，一条直角边交CB的延长线于M，另一条直角边交DC于N．
（1）求证：PM=PN；
（2）如图2，把这个三角板沿着正方形的对角线AC平移，当AP=AC时，求四边形PNCM的面积．

Answer 1

（1）证明：∵直角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，
∴PB=PD，∠D=∠PBM=90°，
∵∠BPM+∠BPN=∠MPN=90°，
∠DPN+∠BPN=90°，
∴∠BPM=∠DPN，
在△PBM和△PDN中，，
∴△PBM≌△PDN（ASA），
∴PM=PN；

（2）如图，过点P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，
由（1）的结论可得S_{四边形PNCM}=S_{四边形PHCG}，
∵AB=4，
∴AC=4，
∵AP=AC，
∴AP=，PC=3，
∴PH=PC=×3=3，
∴S_{四边形PNCM}=S_{四边形PHCG}=3²=9．
分析：（1）根据正方形的性质可得PB=PD，∠D=∠PBM，再根据同角的余角相等求出∠BPM=∠DPN，然后利用“角边角”证明△PBM和△PDN全等，根据全等三角形证明即可；
（2）过点P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，由（1）的结论可得S_{四边形PNCM}=S_{四边形PHCG}，然后根据正方形的性质求出AC，再求出PC，然后利用正方形的面积公式列式计算即可得解．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出全等三角形然后得到S_{四边形PNCM}=S_{四边形PHCG}是解题的关键，也是本题的难点．