Question

12．如图，点A（2，2）在双曲线y₁=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，点C在双曲线y₂=-$\frac{9}{x}$（x＜0）上，分别过A、C向x轴作垂线，垂足分别为F、E，以A、C为顶点作正方形ABCD，且使点B在x轴上，点D在y轴的正半轴上．
（1）求k的值；
（2）求证：△BCE≌△ABF；
（3）求直线BD的解析式．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y₁=$\frac{k}{x}$可求得k的值；
（2）由正方形的性质得出BC=AB，∠ABC=90°，再由角的互余关系证出∠BCE=∠ABF，由AAS即可证明△BCE≌△ABF；
（3）由△BCE≌△ABF得出BE=AF=2，CE=BF，设OB=x，则OE=x+2，CE=BF=x+2，点C的坐标为：（-x-2，x+2），代入双曲线y₂=-$\frac{9}{x}$（x＜0）得出方程：-（x+2）²=-9，得出x=1，OB=1，B（-1，0），AG=5，再由HL证明Rt△BOD≌Rt△CGA，得出OD=AG=5，得出D（0，5），设直线BD的解析式为：y=kx+b，把B、D坐标代入得出方程组，解方程组求出k、b，即可得出直线BD的解析式．

解答 （1）解：把点A（2，2）代入y₁=$\frac{k}{x}$，
得：2=$\frac{k}{2}$，
∴k=4；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=90°，BD=AC，
∴∠EBC+∠ABF=90°，
∵CE⊥x轴，AF⊥x轴，
∴∠CEB=∠BFA=90°，
∴∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠BCE=∠ABF，
在△BCE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠ABF}&{\;}\\{∠CEB=∠BFA}&{\;}\\{BC=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ABF（AAS）；
（3）解：连接AC，作AG⊥CE于G，如图所示：
则∠AGC=90°，AG=EF，GE=AF=2，
由（2）得：△BCE≌△ABF，
∴BE=AF=2，CE=BF，
设OB=x，则OE=x+2，CE=BF=x+2，
∴OE=CE，
∴点C的坐标为：（-x-2，x+2），
代入双曲线y₂=-$\frac{9}{x}$（x＜0）得：-（x+2）²=-9，
解得：x=1，或x=-5（不合题意，舍去），
∴OB=1，BF=3，CE=OE=3，
∴EF=2+3=5，CG=1=OB，B（-1，0），AG=5，
在Rt△BOD和Rt△CGA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AC}\\{OB=CG}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOD≌Rt△CGA（HL），
∴OD=AG=5，
∴D（0，5），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（-1，0），D（0，5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=5}\end{array}\right.$，
解得：k=5，b=5．
∴直线BD的解析式为：y=5x+5．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形特征等知识，本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过求反比例函数解析式和作辅助线证明三角形全等得出相关点的坐标，才能求出直线的解析式．