Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，且CE=2BE，过B点作BF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

先判断出∠OBF=∠CAE，从而得出△AOG≌△BOF，即可判断出△OFG是等腰直角三角形，再根据勾股定理和射影定理求出BF，AF，AG，即可得出FG．

如图，

作OG⊥OF交AE于G，
∴OA=OB,∠FOG=90°，
∵AC，BD是正方形的对角线，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOG=∠BOF，
∵BF⊥AE，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∵∠BAE=∠BAC∠CAE
∴∠OBF=∠ABF∠ABD=90°∠BAE∠ABD=90°∠BAC+∠CAE∠ABD=∠CAE，
在△AOG和△BOF中，

∴△AOG≌△BOF（ASA），
∴OG=OF，
∴△OFG是等腰直角三角形，
∵CE=2BE,BC=，
∴BE=，
根据勾股定理得,AE=，
在Rt△ABE中，
根据射影定理得，BF=1，AF=3，
∴AG=BF=1，
GF=AFBF=2，
∴OF=.
故答案为.