Question

【题目】如图，边长12的正方形ABCD中，F为BC上一点，有一个小正方形EFGH，其中E、G分别在AB、FD上.若BF=3，则AH的长为____.

Answer 1

【答案】

【解析】

由在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，根据同角的余角相等，可得∠BFE=∠CDF，继而证得△BEF∽△CFD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BE长，过H作HM⊥AB于M，则∠HMA=∠HME=90°，求出MH和AM长，再根据勾股定理求出即可．

四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，

在△BEF与△CFD中，

∵∠BFE+∠CFD=∠CFD+∠CDF=90°，

∴∠BFE=∠CDF，

∴△BEF∽△CFD，

∴=，

∵BF=3，BC=12，

∴CF=BC-BF=12-3=9，

∴=，

∴BE=，

过H作HM⊥AB于M，

则∠HMA=∠HME=90°，

∵四边形ABCD和四边形EHGF是正方形，

∴∠HME=∠B=90°，EH=EF，∠HEF=90°，

∴∠MEH+∠BEF=90°，∠BEF+∠EFB=90°，

∴∠MEH=∠EFB，

在△HME和△EBF中,,

∴△HME≌△EBF（AAS），

∴HM=BE=，ME=BF=3，

∴AM=AB-EM-BE=12-3-=，

在Rt△AMH中，由勾股定理得：AH===．

故答案为：．