Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在第一象限且在直线y=$\frac{4}{3}$x上，点B为线段OA的中点，过点A作y轴的垂线，点D是线段AC的延长线上的一点，连接BD．若∠OBD=3∠D，且CD=5，则直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$．

Answer 1

分析 由∠OBD=3∠D结合外角的性质可得出∠A=2∠D，连接BC，根据直角三角形斜边上的中线等于底边的一半可得出BC=BA=BO，由等边对等角可得出∠A=∠BCA，结合三角形外角的性质可得出∠D=∠DBC，进而可得出BC=CD=5，由点A在第一象限且在直线y=$\frac{4}{3}$x上，设出点A的坐标为（x，$\frac{4}{3}$x），利用勾股定理可求出x值，进而得出点A的坐标，结合点B为线段OA的中点以及AC⊥y轴，可得出点B、D的坐标，再根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式．

解答 解：∵∠OBD=∠D+∠A，∠OBD=3∠A，
∴∠A=2∠D．
连接BC，如图所示．
∵△OAC为直角三角形，点B为线段OA的中点，
∴BC=BA=BO，
∴∠A=∠BCA．
∵∠BCA=∠D+∠DBC，
∴∠D=∠DBC，
∴CB=CD=5，OA=2BC=10．
设点A的坐标为（x，$\frac{4}{3}$x），则AC=x，OC=$\frac{4}{3}$x，
∵OA²=OC²+AC²，即10²=x²+（$\frac{4}{3}$x）²，
解得：x=6或x=-6（舍去），
∴点A的坐标为（6，8），
∴点B的坐标为（3，4），点D的坐标为（-5，8）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
将点B（3，4）、D（-5，8）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{-5k+b=8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$．
故答案为：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，利用勾股定理求出点A的坐标是解题的关键．