Question

7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=6cm，CB=8cm，点I是它的三条角平分线的交点．求：（1）AB的长；（2）IC、IA、IB的长．

Answer 1

分析 （1）直接用勾股定理求得即可．
（2）作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，垂足分别为D、E、F，易证得四边形IECD是正方形，设IE=IF=ID=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，因为Rt△BIF≌Rt△BID，所以BD=BF，同理，AE=AF，CE=CD，所以有6-x+8-x=10  即x=2，然后根据勾股定理即可求得IC=2$\sqrt{2}$，IB=2$\sqrt{10}$，IA=2$\sqrt{5}$．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，CA=6cm，CB=8cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm）；
（2）作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，
∵点I是它的三条角平分线的交点，
∴IE=IF=ID，
又∵IB是公共边，
∴Rt△BIF≌Rt△BID（HL），
∴BD=BF，
同理，AE=AF，CE=CD，
∵∠C=90°，ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，ID=IE，
∴四边形IECD是正方形，
设IE=IF=ID=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，
∴BF+FA=AB=10，即6-x+8-x=10，
解得x=2．
则OE=OF=OD=2．
∴AF=AE=6-2=4，BD=BF=8-2=6，
∴IC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$（cm），
IA=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$（cm），
IB=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$（cm）．

点评 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建正方形和直角三角形是解题的关键．