Question

如图，已知∠XOY=90°，正△PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一顶点B在∠XOY的内部．
（1）当顶点P在射线OY上移动到点P₁时，连接AP₁，请用尺规作图∠XOY内部作出以AP₁为边的正三角形（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设AP₁交OB于点C，AB的延长线交B₁P₁于点D．求证：△ABC∽△AP₁D；
（3）连接BB₁，求∠ABB₁的度数．

Answer 1

解：（1）如图．
图形正确痕迹正确

（2）证明：∵△PAB和△P₁AB₁都是正三角形，
∴∠ABC=∠AP₁D=60°．
∵∠BAC=∠P₁AD，
∴△ABC∽△AP₁D．

（3）∵△O（P）AB和△P₁AB₁都是正三角形，
∴AO=AB，AP₁=AB₁，∠PAB=∠P₁AB₁=60°．
∴∠OAP₁=∠BAB₁=60°-∠CAB．
∴△OAP₁≌△BAB₁．
∴∠ABB₁=∠AOP₁=90°．
分析：（1）分别以A、P₁为圆心，AP₁长为半径画弧，两弧交于B₁点，△AP₁B₁即为所求；
（2）欲证△ABC∽△AP₁D，必须有两组角相等，∠BAC=∠P₁AD为一个公共角，又因为△PAB和△P₁AB₁都是正三角形，所以有∠ABC=∠AP₁D=60°所以△ABC∽△AP₁D；
（3）有（1）（2）可知AO=AB，AP₁=AB₁，∠PAB=∠P₁AB₁=60°，所以有∠OAP₁=∠BAB₁=60°-∠CAB，因此根据边角边公式可证△OAP₁≌△BAB₁，因此可得∠ABB₁=∠AOP₁=90°
点评：此题主要考查了相似的判定以及等边三角形的一些基本性质．