Question

5．小志和小明选择一个土坡进行跑步训练，他们按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚，两人上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍，设两人出发xmin后距出发点的距离为ym，图中折线表示小志在整个训练中y与x的函数关系，其中A点在x轴上，M点坐标为（2，0）．
（1）请说出点A所表示的实际意义，并求出$\frac{OM}{MA}$的值；
（2）求出AB所在直线的函数关系式；
（3）如果小明上坡的平均速度是小志上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？

Answer 1

分析 （1）根据速度=路程÷时间即可求出小志上坡的平均速度，再由他上下破速度间的关系可求出下坡的平均速度，根据时间=路程÷速度即可算出小志下坡所有时间，从而找出点A坐标，由此即可得出结论；
（2）设AB所在直线的函数关系式为y=kx+b（2≤x≤$\frac{10}{3}$），由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出函数解析式；
（3）根据小明与小志上坡速度间的关系求出小明上坡的速度，由此即可得出小明上坡的函数关系式，联立小志下坡的函数关系式成方程组，解方程组即可得出结论．

解答 解：（1）小志上坡的平均速度为：480÷2=240（m/min），
小志下坡的平均速度为：240×1.5=360（m/min），
小志下坡所用时间为：480÷360=$\frac{4}{3}$（min）．
∴A点的坐标为（2+$\frac{4}{3}$，0），即（$\frac{10}{3}$，0）．
故A点表示的实际意义为：小志出发$\frac{10}{3}$分钟回到了出发点．
$\frac{OM}{MA}$=$\frac{2}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{2}$．
（2）设AB所在直线的函数关系式为y=kx+b（2≤x≤$\frac{10}{3}$），
将B（2，480）与A（$\frac{10}{3}$，0）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{480=2k+b}\\{0=\frac{10}{3}k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-360}\\{b=1200}\end{array}\right.$，
∴AB所在直线的函数关系式为y=-360x+1200（2≤x≤$\frac{10}{3}$）．
（3）∵小明上坡的平均速度是小志上坡平均速度的一半，
∴小明上坡的平均速度为：240÷2=120（m/min），
小明上坡所用的时间为：480÷120=4（min），
∴小明上坡的函数关系式为y=120x（0≤x≤4）．
联立小明上坡与小志下坡函数关系式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=120x}\\{y=-360x+1200}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=300}\end{array}\right.$．
答：两人出发$\frac{5}{2}$min后第一次相遇．

点评 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一次函数的图象，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）利用待定系数法求函数解析式；（3）解方程组解决相遇问题．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式是关键．