Question

认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）¹=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=（a+b）²（a+b）=a³+3a²b+3ab²+b³，…
下面我们依次对（a+b）ⁿ展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数是可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）ⁿ的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）ⁿ展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）ⁿ（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．

Answer 1

解：（1）∵当n=1时，多项式（a+b）¹的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=，
当n=2时，多项式（a+b）²的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1=，
当n=3时，多项式（a+b）³的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=，
当n=4时，多项式（a+b）⁴的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=，
…
∴多项式（a+b）ⁿ的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：；

（2）预测一下多项式（a+b）ⁿ展开式的各项系数之和为：2ⁿ；

（3）∵当n=1时，多项式（a+b）¹展开式的各项系数之和为：1+1=2=2¹，
当n=2时，多项式（a+b）²展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=2²，
当n=3时，多项式（a+b）³展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=2³，
当n=4时，多项式（a+b）⁴展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=2⁴，
…
∴多项式（a+b）ⁿ展开式的各项系数之和：S=2ⁿ．
分析：（1）由题意可求得当n=1，2，3，4，…时，多项式（a+b）ⁿ的展开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；
（2）首先求得当n=1，2，3，4…时，多项式（a+b）ⁿ展开式的各项系数之和，即可求得答案；
（3）结合（2），即可推断出多项式（a+b）ⁿ（n取正整数）的展开式的各项系数之和．
点评：此题属于规律性、阅读性题目．此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键．