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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线y=px2-1与两坐标轴分别交于点A、B、C，点D坐标为（0，-2），△ABD为直角三角形，l为过点D且平精英家教网行于x轴的一条直线．
    （1）求p的值；
    （2）若Q为抛物线上一动点，试判断以Q为圆心，QO为半径的圆与直线l的位置关系，并说明理由；
    （3）是否存在过点D的直线，使该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间得两条线段的比例中项？如果存在，请求出直线解析式；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据△ABD为等腰直角三角形，点D坐标为（O，-2），可求点B的坐标为（2，O）．将点B的坐标（2，0）代入抛物线解析式，得p=
    1
    4
    ．
    （2）设点Q的坐标为（a，b），则有a2=4b+4．过Q作QG⊥l，垂足为G，交x轴于H．DQ=b+2．又点Q到直线l的距离QG=b+2．QG=DQ．⊙Q与直线l相切．
    （3）先假设存在这样的直线，该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间的两条线段的比例中项．设直线解析式为：y=kx-2，与抛物线两交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2）．分别过M，N作MM’⊥l，NN’⊥l，垂足为M'，N'，因为MM'∥NN'，可知MN2=DM．DN，即（x2+x1）2-5x1x2=0．根据交点的意义可得x1，x2是方程x2-4kx+4=O的两个根，
    由根与系数的关系，得16k2-20=o，解得k=±
    		5
    2
    ，当k=±
    		5
    2
    时，有△＞0，所以，满足条件的解析式为y=
    		5
    x
    2
    -2和y=-
    		5
    x
    2
    -2．
    解答：精英家教网解：（1）由题意知，△ABD为等腰直角三角形，
    又∵点D坐标为（O，-2）
    ∴OD=2，
    ∴OA=OB=OD=2．
    ∴点B的坐标为（2，O）．（2分）
    将点B的坐标（2，0）代入抛物线解析式，
    得p=
    1
    4
    ．（3分）

    （2）以Q为圆心，QO为半径的圆与直线l相切．（4分）
    设点Q的坐标为（a，b），则有a2=4b+4．
    过Q作QG⊥l，垂足为G，交x轴于H（如图1）．
    ∴DQ=b+2．
    又∵点Q到直线l的距离OQ=b+2=QG．
    ∴QG=DQ．
    故⊙Q与直线l相切．

    （3）假设存在这样的直线，该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间的两条线段的比例中项．
    设直线解析式为）y=kx-2，与抛物线两交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2）．
    解法一分别过M，N作MM’⊥l，NN’⊥l，垂足为M'，N'（如图2）
    ∴MM'∥NN'，
    ∴
    DM
    DM′
    =
    DN
    DN′
    =
    MN
    M′N′

    ∵MN2=DM．DN，精英家教网
    ∴（x2+x1）2-5x1x2=0，（9分）
    ∵点M在直线y=kx-2上，
    ∴y1=kx1-2，
    ∵点M又在抛物线y=
    1
    4
    x2-1上，
    ∴y1=
    1
    4
    x12-1
    ∴kx1-2=
    1
    4
    x12-1，
    即x12-4kx1+4=0，
    同理，有x22-4kx2+4=0
    ∴x1，x2是方程x2-4kx+4=O的两个根，
    由根与系数的关系，得16k2-20=o，
    解得k=±
    		5
    2

    当k=±
    		5
    2
    时，有△＞0，
    所以，满足条件的解析式为y=
    		5
    x
    2
    -2和y=-
    		5
    x
    2
    -2．
    点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式，交点的意义和二次函数和一元二次方程的关系等．要熟练掌握才能灵活运用．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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