Question

12．如图，抛物线y=-x²+bx+c经过点B（3，0），点C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠AQC=90°，求点Q的坐标；
（3）在坐标平面内找一点P，使△OCD与△CBP相似，且∠COD=∠BCP，求出所有点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法转化为解方程组即可解决．
（2）如图2中，点M是AC中点，求出点M坐标，设点Q（1，m），根据MQ=$\frac{1}{2}$AC，列出方程即可解决问题．
（3）如图3中，作DK⊥OC于K，当CP在直线BC上方时，因为∠CBO=45°，所以当∠CBP₁=∠DCO时，点P₁，在x轴上，根据$\frac{CD}{B{P}_{1}}$=$\frac{CO}{BC}$，求解即可，当∠CP₂B=∠DCO时，$\frac{C{P}_{2}}{CO}$=$\frac{CB}{DO}$，求出CP₂，作P₂M⊥CO于M，利用$\frac{{P}_{2}M}{O{P}_{1}}$=$\frac{CM}{CO}$=$\frac{C{P}_{2}}{C{P}_{1}}$即可解决问题．当直线CP在直线BC下方时，根据对称性，即可解决问题．

解答 解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）令y=0得到-x²+2x+3=0，解得x=-1或3，故点A（-1，0），
如图2中，点M是AC中点，M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），设点Q（1，m），
∵∠AQC=90°，
∴MQ=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）^{2}+（m-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
解得m=1或2，
∴点Q坐标（1，1）或（1，2）．
（3）如图3中，作DK⊥OC于K，∵点D坐标（1，4），点C坐标（0，3），
∴CK=DK，∠KCD=45°，
∴∠DCO=135°，
∵△OCD与△CBP相似，∠COD=∠B，
当CP在直线BC上方时，∵∠CBO=45°，
∴当∠CBP₁=∠DCO时，点P₁，在x轴上，
∴$\frac{CD}{B{P}_{1}}$=$\frac{CO}{BC}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{B{P}_{1}}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，
∴BP₁=2，
∴P₁（5，0），
当∠CP₂B=∠DCO时，$\frac{C{P}_{2}}{CO}$=$\frac{CB}{DO}$，
∴$\frac{C{P}_{2}}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$，
∴CP₂=$\frac{18}{\sqrt{34}}$，作P₂M⊥CO于M，
∵$\frac{{P}_{2}M}{O{P}_{1}}$=$\frac{CM}{CO}$=$\frac{C{P}_{2}}{C{P}_{1}}$
∴CM=$\frac{27}{17}$，P₂M=$\frac{45}{17}$，
∴OM=$\frac{24}{17}$，
∴P₂（$\frac{45}{17}$，$\frac{24}{17}$），
当直线CP在直线BC下方时，根据对称性，可知：BP₃=BP₁=2，此时P₃（3，-2），
∵CP₄=CP₂=$\frac{18}{\sqrt{34}}$，同理可得P₄（$\frac{27}{17}$，$\frac{6}{17}$）
综上所述点P坐标（5，0）或（3，-2）或$\frac{45}{17}$，$\frac{24}{17}$）或（$\frac{27}{17}$，$\frac{6}{17}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理．直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会正确画出图形，本题一题多解，属于中考压轴题．