Question

如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，EF⊥AE．
（1）求证：△CEF∽△DAE；
（2）若FC=3，求正方形ABCD的边长；
（3）求证：EF平分∠AFC．

Answer 1

分析：（1）由正方形ABCD中，EF⊥AE，易证得∠D=∠C=90°，∠DAE=∠CEF，则可证得：△CEF∽△DAE；
（2）由△CEF∽△DAE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（3）由△CEF∽△DAE，易得

DE

EF

=

AD

AE

，继而可证得△ADE∽△AEF，则可证得EF平分∠AFC．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AED+∠CEF=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
∴△CEF∽△DAE；

（2）解：∵△CEF∽△DAE，
∴

CF

DE

=

EC

AD

，
∵E是CD的中点，
∴DE=EC=

1

2

CD=

1

2

AD，
∴DE=2FC=2×3=6，
∴CD=2DE=12；

（3）∵△CEF∽△DAE；
∴

EC

AD

=

EF

AE

，∠AED=∠EFC，
∵DE=EC，
∴

DE

AD

=

EF

AE

，
即

DE

EF

=

AD

AE

，
∵∠D=∠AEF=90°，
∴△ADE∽△AEF，
∴∠AED=∠AFE，
∴∠AFE=∠EFC，
即EF平分∠AFC．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．